¿Cómo se pueden calcular las probabilidades de sacar la lotería?

Seguro más de una vez has soñado con la posibilidad de ganar la lotería y has pensado en qué gastarías tanto, tanto, tanto dinero.

Nadie puede culparte, todos soñamos con sacar la lotería alguna vez pero... ¿qué posibilidades tenemos realmente?

Hoy vamos a describir una forma matemática bastante sencilla para calular lasprobabilidades de sacar la lotería.

¿Cómo se juega a la lotería?

La lotería se puede jugar de diferentes formas, y en cada lugar el sorteo tiene sus propias particularidades. Nos vamos a concentrar en una lotería estándar en la que el apostador elige seis números del 1 al 50 y gana si todos sus números salen sorteados, sin importar el orden en que lo hagan.

La misma operación matemática que veremos se puede adaptar a diferentes loterías. Por ejemplo, del mismo modo que veremos hoy, podríamos hacer el cálculo para una lotería en que el apostador elige cinco números del 1 al 40, o siete del 1 al 60.

Lo importante es que el conjunto de números que se sortean sea finito y que no importe el orden en que los números salen sorteados. En otros casos nos estaríamos enfrentando a sorteos mucho más sofisticados y calcular la probabilidad de ganar sería mucho, mucho, mucho más complejo.

¿Cómo se calcula la probabilidad de sacar la lotería?

Volvamos al supuesto inicial de la lotería de seis números del 1 al 50. Cada uno elije sus seis números: x1, x2, x3, x4, x5, x6. Para calcular la probabilidad combinada de que salgan los seis números que elegimos, debemos calcular la probabildad simple de que salga cada uno de ellos.

Para calcular la probabilidad de que salga un número cualquiera de entre seis que elegimos, llamémoslo xq, debemos dividir los casos favorables entre los casos posibles. Los casos favorables son seis: que salga uno de nuestros seis elegidos. Los casos posibles son todos los números que podrían salir, en nuestra lotería, 50. Entonces la probabilidad de que salga uno de nuestros números es de 6/50.

Ahora bien, cuando en el mismo sorteo queramos calcular la probabilidad de que salga otro número, llamémosle xk, los casos favorables y posibles se reducen, porque anteriormente ya salió uno de nuestros números. Entonces la probabilidad de que salga otro de nuestros números es de 5/49.

• P (x1) = 6/50 = 0,12
• P (x2) = 5/49 = 0,102 (aprox.)
• P (x3) = 4/48 =  0,084 (aprox.)
• P (x4) = 3/47 = 0,064 (aprox.)
• P (x5) = 2/46 = 0,043 (aprox.)
• P (x6) = 1/45 = 0,023 (aprox.)

Ya calculamos las probabilidades de que salga cada uno de nuestros números por separado, ¿ahora como hacemos para calcular las probabilidades de sacar la lotería completa? Simple: debemos multiplicar las probabilidades. Más arriba pusimos las aproximaciones hasta el tercer número decimal, pero para calcular el total de forma más precisa es preferible multiplicar las fracciones.

• 6/50 * 5/49 * 4/48 * 3/47 * 2/46 * 1/45 = 0,000000063

Ahora ya calculamos las —escasas— probabilidades de que salgan todos nuestros números, pero esto no termina aquí. ¡Ahora debes calcular las probabilidades en tu contra! Debes calcular el inverso:

• 1 : 0,000000063 = 15873015,873015873

Esto significa que tienes una probabilidad de 1 entre 15 873 015, o dicho de otro modo, de 1 entre 16 millones, aproximadamente.

Terrible, sin duduas, y muy desalentador. Lo más importante de este artículo no era aprender a calcular las probabilidades de sacar la lotería... ¡sino convencerte de que no lo hagas más!